Question

9．设x、y为不同的正整数．满足$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{2}{13}$，则x^y+y^x的末两位数字为（　　）

• A． 74
• B． 84
• C． 75
• D． 85

Answer 1

分析 先根据x、y为不同的正整数，且满足$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{2}{13}$，求出x=7，y=91，则x^y+y^x=7⁹¹+91⁷，再分别确定7⁹¹与91⁷的末两位数字，然后相加即可．

解答 解：将方程$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{2}{13}$两边同乘13xy，得13（x+y）=2xy，
∵x、y为不同的正整数，不妨设y=13t（t为正整数），则x+13t=2xt，
∴t=$\frac{x}{2x-13}$=$\frac{1}{2-\frac{13}{x}}$，
∵t为正整数，
∴1＞2-$\frac{13}{x}$＞0，
解得6.5＜x＜13，
∵x为正整数，
∴x=7，8，9，10，11，12，
当x=7时，t=$\frac{7}{2×7-13}$=7，y=13×7=91，
当x=8，9，10，11，12时，t的值均为分数，不合题意，舍去，
∴x=7，y=91，
∴x^y+y^x=7⁹¹+91⁷．
∵7¹=7，7²=49，7³=343，7⁴=2401，
7⁵=16807，7⁶=117649，7⁷=823543，7⁸=5764801，
…
∴7ⁿ（n为正整数）的末两位数字以四个数字为一个周期依次循环：07，49，43，01，
∵91÷4=22…3，
∴7⁹¹的末两位数字是43，
∵91⁷的末两位数字是31，
∴7⁹¹+91⁷的末两位数字是43+31=74．
故选A．

点评 本题考查了尾数特征，数字的变化规律，代数式的恒等变形能力，不等式组的解法，能够根据条件求出x、y的值是解题的关键．