Question

4．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=8cm，BC=3cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动．
（1）问几秒后，△PQD的面积为6？
（2）问几秒后，点P和点Q的距离是5cm？
（3）问几秒后，以三点P、Q、D为顶点的三角形为直角三角形？
（提示：根据不同情况画出不同的图形，再给予解决问题．此题包括从开始到结束的所有情况）

Answer 1

分析 （1）利用三角形的面积公式建立方程求解即可；
（2）利用点P和点Q的距离是5cm，结合勾股定理求出答案；
（3）由题意可得：AP=3t，CQ=2t，即可得DQ=CD-CQ=8-2t，然后过点Q作QM⊥AB于点M，然后分别从：①若∠DPQ=90°，易得△APD∽△MQP，②若∠DOP=90°，则有DQ²=DP²-PQ²，③∠PDQ=90°三种情况，去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）如图，

设t秒后，△PQD的面积为6，
∴CQ=2t，
∴DQ=8-2t，
∴S_△PQD=$\frac{1}{2}$DQ×PE=$\frac{1}{2}$DQ×AD=$\frac{1}{2}$（8-2t）×3=6，
∴t=2，
∴2秒后，△PQD的面积为6；
（2）设t秒后，点P和点Q的距离是5cm，
（8-2t-3t）²+3²=5²，
（8-5t）²=16，
8-5t=±4，
t₁=$\frac{4}{5}$，t₂=$\frac{12}{5}$，
∴$\frac{4}{5}$秒或$\frac{12}{5}$秒时，点P和点Q的距离是5cm；

（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=8，AD=BC=3，
根据题意得：AP=3t，CQ=2t，
∴DQ=CD-CQ=8-2t，
过点Q作QM⊥AB于点M，
∴四边形BCQM是矩形，
∴QM=BC=3，BM=CQ=2t，
∴PM=AB-AP-BM=8-5t，
①如图1，

若∠DPQ=90°，
∴∠APD+∠MPQ=90°，
∵∠APD=∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠MPQ，
∵∠A=∠PMQ=90°，
∴△APD∽△MQP，
∴$\frac{AD}{PM}=\frac{AP}{QM}$，
∴$\frac{3}{8-5t}=\frac{3t}{3}$，
解得：t=1或t=$\frac{3}{5}$；
②如图2，

若∠DQP=90°，则有DQ²=DP²-PQ²，
∴（8-2t）²=3²+（3t）²-3²
解得：t=$\frac{8}{5}$或t=-8（舍），
③如图3，当∠PDQ=90°时，
∵∠ADQ=90°，
∴t=0，
综上所述，当t=0或1或$\frac{3}{5}$或$\frac{8}{5}$时，以三点P、Q、D为顶点的三角形为直角三角形．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了三角形的面积公式，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的应用等知识，利用分类讨论得出是解题关键．