Question

6．如图，在⊙O中，AB为直径，延长CD至E，使得AE⊥CE．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）若AE与⊙O相切于点A，AE=4，CE=8，求直径AB的长度．

Answer 1

分析 （1）由AB为⊙O的直径，AE⊥CE，得到∠ADB=∠E=90°，根据圆周角定理得到∠B=∠C，于是得到△ABD∽△ACE；
（2根据已知条件证得△ACE∽△DAE，△ABD∽△ADE，列出比例式代入数值即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AE⊥CE，
∴∠E=90°，
∴∠ADB=∠E，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△ACE；

（2）解：∵AE与⊙O相切于点A，
∴∠C=∠B=∠DAE，
∵∠E=∠E，
∴△ACE∽△DAE，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{CE}{AE}$，
∴DE=$\frac{{AE}^{2}}{CE}$=$\frac{{4}^{2}}{8}$=2，
∴AD=$\sqrt{{AE}^{2}{+DE}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠ADB=∠E，∠B=∠DAE，
∴△ABD∽△ADE，
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{AB}{AD}$，
∴AB=$\frac{{AD}^{2}}{DE}$=10．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，弦切角定理，找准相似三角形是解题的关键．