Question

10．按照有关规定：距高铁轨道 200米以内的区域内不宜临路新建学校、医院、敬老院和集中住宅区等噪声敏感建筑物．
如图是一个小区平面示意图，矩形ABEF为一新建小区，直线MN为高铁轨道，C、D是直线MN上的两点，点C、A、B在一直线上，且DA⊥CA，∠ACD=30°．小王看中了①号楼A单元的一套住宅，与售楼人员的对话如下：

（1）小王心中一算，发现售楼人员的话不可信，请你用所学的数学知识说明理由；
（2）若一列长度为228米的高铁以252千米/小时的速度通过时，则A单元用户受到影响时间有多长？
（温馨提示：$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7，$\sqrt{37}$≈6.1）

Answer 1

分析 （1）作过点A作AG⊥MN，垂足为G，根据三角函数可求AG的长，再与200米比较大小即可求解；
（2）在MN上找到点S、T，使得AS=AT=200米，根据勾股定理可求GT，根据三角函数可求ST，依此可求速度，进一步得到A单元用户受到影响的时间．

解答 解：（1）作过点A作AG⊥MN，垂足为G，
∵∠ACD=30°，DA⊥CA，
∴∠ADC=60°，
∵AD=220米，
∴AG=ADsin60°=110$\sqrt{3}$≈187＜200，
∴A单元用户会受到影响，售楼人员的说法不可信．

（2）在MN上找到点S、T，使得AS=AT=200米
∴GT=GS=$\sqrt{20{0}^{2}-（110\sqrt{3}）^{2}}$=10$\sqrt{37}$米
∴ST=2GT=20$\sqrt{37}$≈122米
又∵速度V=$\frac{252×1000}{3600}$=70（米/秒）
∴时间t=$\frac{122+228}{70}$=5秒，即受影响的时间为5秒．

点评 此题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．