Question

如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，过点B的直线交⊙O₁、⊙O₂于C、D，

BD

的中点为M，AM交⊙O₁于E，交CD于F，连CE、AD、DM．
（1）求证：AM•EF=DM•CE；　
（2）求证：

EF2

CE2

=

MF

MA

；
（3）若BC=5，BD=7，CF=2DF，AM=4MF，求MF和CE的长．

Answer 1

分析：（1）首先连接AB，由

BD

的中点为M，易得：∠BAM=∠MAD与∠BAM=∠MAD，则可求得∠AFB=∠ADM；由同弧所对的圆周角相等，可得∠BAF=∠BCE，则得∠ECF=∠MAD，即可证得△CEF∽△AMD，由相似三角形的对应边成比例，即可证得AM•EF=DM•CE；
（2）首先易证得CE∥DM，根据平行线分线段成比例定理，即可得

EF

CE

=

ME

DM

，又由△CEF∽△AMD，可得

FE

CE

=

MD

AM

，则问题得证；
（3）首先由相似三角形的性质与平行线分线段成比例定理，求得MF与CE的值即可．

解答：（1）证明：连AB，
∵

BD

的中点为M，
∴∠BAM=∠MAD，
∵∠ABF+∠BAF+∠AFB=∠AMD+∠MAD+∠ADM=180°，
∴∠AFB=∠ADM，
∵∠BAF=∠BCE，
∴∠ECF=∠MAD，
∴△CEF∽△AMD，
∴

EF

DM

=

CE

AM

，
∴AM•EF=DM•CE；

（2）证明：∵∠C=∠BAF，∠BAF=∠BDM，
∴∠C=∠BDM，
∴CE∥DM，
∴

EF

CE

=

ME

DM

，
∵△CEF∽△AMD，
∴

FE

CE

=

MD

AM

，
∴

EF2

CE2

=

MF

DM

•

MD

AM

=

MF

MA

（3）解：∵BC=5，BD=7，
∴CD=BC+BD=12，
∵CF=2DF，
∴CF=8，FD=4，
∵△CEF∽△AMD，
∴

CF

AM

=

EF

DM

，
∵CE∥DM，
∴

CF

DF

=

EF

FM

，
∴

AM

DM

=

DF

FM

，
∴

CF

DM

=

CF

DF

∴DM=DF=4
∵AM=4MF=8，
∴MF=2，
∴CE=8．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，圆的性质以及平行线的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用．