Question

若a、b、c是△ABC的三边，a、b是关于x的方程x²-（4+c）x+4c+8=0的两个实数根，且满足25a•sinA=9c．
（1）试判断△ABC的形状并说明理由；
（2）求a、b、c的值．

Answer 1

解：（1）∵a、b是关于x的方程x²-（4+c）x+4c+8=0的两个实数根，
∴a+b=4+c ①，
ab=4c+8 ②，
将①两边平方，得（a+b）²=（4+c）²，
∴a²+2ab+b²=16+8c+c²，
将②代入上式，得a²+2（4c+8）+b²=16+8c+c²，
整理，得a²+b²=c²，
∴∠C=90°，△ABC是直角三角形；

（2）∵25a•sinA=9c，sinA=，
∴25a•=9c，
∴5a=3c，a=c，
由勾股定理，得b==c．
∵a+b=4+c，
∴c+c=4+c，
解得c=10，
∴a=6，b=8．
故a、b、c的值分别为6，8，10．
分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得a+b=4+c①，ab=4c+8②，将①两边平方后，再②式代入，整理即得a²+b²=c²，根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形；
（2）由（1）知∠C=90°，根据正弦函数的定义得sinA=，将它代入已知条件25a•sinA=9c，可得a=c，再由勾股定理，得b=c，然后把它们代入a+b=4+c，即可求出c的值，进而求出a、b的值．
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，勾股定理的逆定理，三角函数，综合性较强，难度适中．