Question

（2012•淮安）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0）．将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转135°，得到矩形EFGH（点E与O重合）．
（1）若GH交y轴于点M，则∠FOM=

45

°，OM=

2

2

；
（2）将矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位．
①直线GH与x轴交于点D，若AD∥BO，求t的值；
②若矩形EFGH与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位，试求当0＜t≤4

2

-2时，S与t之间的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）由旋转可得出∠AOF=135°，再由矩形的内角为直角得到一个角为直角，利用∠AOF-∠AOC求出∠COF的度数，再由∠MOC为直角，由∠MOC-∠COF即可求出∠MOF的度数；由∠MOF的度数为45°，利用两直线平行得到一对内错角相等，可得出三角形OHM为等腰直角三角形，由OH=MH=2，利用勾股定理即可求出OM的长；
（2）①如图所示，当AD与BO平行时，由AB与DO平行，利用两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ABOD为平行四边形，由平行四边形的对边相等得到AB=DO=2，由平移可知：∠HEM=45°，可得出∠OMD=∠ODM=45°，即三角形ODM为等腰直角三角形，得到OD=OM，由OD的长求出OM的长，由三角形HEM为等腰直角三角形，且直角边长为2，利用勾股定理求出EM的长，用EM-OM即可求出平移的距离，即为t的值；
②分三种情况考虑：（i）如图1所示，当0＜t＜2时，重叠部分为等腰直角三角形，由平移的距离为t，得到等腰直角三角形直角边为t，利用三角形的面积公式即可表示出S；（ii）如图2所示，当2≤t＜2

2

时，重叠部分为直角梯形，表示出上底，下底及高，利用梯形的面积公式表示出S即可；（iii）如图3所示，当2

2

≤t≤4

2

-2时，重叠部分为五边形，由梯形面积-三角形面积，表示出S即可．

解答：解：（1）如图所示：

由旋转可得：∠AOF=135°，又∠AOC=90°，
∴∠COF=∠AOF-∠AOC=45°，又∠MOC=90°，
∴∠FOM=45°，又OF∥HG，
∴∠OMH=∠FOM=45°，又∠H=90°，
∴△OHM为等腰直角三角形，
∴OH=HM=2，
则根据勾股定理得：OM=2

2

；

（2）①如图所示：连接AD，BO

∵AD∥BO，AB∥OD，
∴四边形ADOB为平行四边形，
∴DO=AB=2，
由平移可知：∠HEM=45°，
∴∠OMD=∠ODM=45°，
∴OM=OD=2，
由平移可知：EM=2

2

，
∴矩形EFGH平移的路程t=2

2

-2=2（

2

-1）；
②分三种情况考虑：
（i）如图1所示，当0＜t≤2时，重叠部分为等腰直角三角形，
此时OE=t，则重叠部分面积S=

1

2

t²；

（ii）如图2所示，当2＜t≤2

2

时，重叠部分为直角梯形，
此时S=

1

2

[（t-2）+t]×2=2t-2；

（iii）如图3所示，当2

2

＜t≤4

2

-2时，E点在A点下方，重叠部分为五边形，
此时S=（2t-2）-

1

2

（t-2

2

）²=-

1

2

t²+2（

2

+1）t-6．

综上，S=

1 2 t2(0＜t≤2) 2t-2(2＜t≤2 2 ) - 1 2 t2+2( 2 +1)t-6(2 2 ＜t≤4 2 -2)

．
故答案为：45；2

2

．

点评：此题属于相似形综合题，涉及的知识有：平移的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，以及梯形的面积公式，利用了分类讨论的思想，根据题意作出相应的图形是解本题的关键．