Question

在Rt△ABC中，∠C=90°．AC=4，BC=3．
（1）现按如图1方式在△ABC内内接一个正方形DEFG，求正方形DEFG的边长；
（2）如图2，△ABC内有并排的两个全等的正方形GDKH和正方形HKEF，它们组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；
（3）如图3，在△ABC中从左向右依次作内接正方形CNDM、正方形MKEH，分别求出正方形CNDM和正方形MKEH的边长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：几何图形问题

分析：（1）根据题意画出图形，作CN⊥AB，再根据GF∥AB，可知△CGF∽△CAB，由相似三角形的性质即可求出正方形的边长；
（2）作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N，同（1）可知，△CGF∽△CAB，根据对应边的比等于相似比可求出正方形的边长；
（3）根据相似三角形的性质就可以求出正方形CNDM的边长，正方形MKEH的边长求法相同．

解答：解：（1）在图1中，作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N．
在Rt△ABC中，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴

1

2

AB•CN=

1

2

BC•AC，
CN=

12

5

，
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴

CM

CN

=

GF

AB

，
设正方形边长为x，
则

12 5 -x

12 5

=

x

5

，
∴x=

60

37

；

（2）在图2中，作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N．
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴

CM

CN

=

GF

AB

，
设每个正方形边长为x，则

12 5 -x

12 5

=

2x

5

，
∴x=

60

49

．

（3）设正方形CNDM的边长为y，则

y

3

=

4-y

4

，
解得y=

12

7

；
设正方形MKEH的边长为z，则

z

3

=

4- 12 7 -z

4

，
解得z=

48

49

．
故正方形CNDM的边长为

12

7

，正方形MKEH的边长为

48

49

．

点评：本题主要考查了相似三角形的性质，根据对应边的比相等求出边长，是解决本题的关键．