Question

如图，在△ABC中，点D是AC上一点，且AB²=AD•AC，AE平分∠BAC交BD于点E，过E作EF∥AC交BC于点F，若BE=5，则CF的长为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：如图作辅助线：过点E作EM⊥AB于M，作EG⊥AC于G，过点F作FN于N．则由角平分线的性质证得ME=GE；根据平行四边形的判定得到四边形EGNF是平行四边形，所以GE=NF．通过证明△BEM≌△CFN得到CF=BE．

解答：解：如图，过点E作EM⊥AB于M，作EG⊥AC于G，过点F作FN⊥AC于N，则EG∥FN，
∵AE平分∠BAC，EF∥AC
∴ME=GE，四边形EGNF是平行四边形，
∴GE=NF，
∴ME=NF．
又∵AB²=AD•AC，
∴

AB

AC

=

AD

AB

，
∵∠BAD=∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴∠ABD=∠ACB，即∠MBE=∠NCF，
∴在△BEM与△CFN中，

∠MBE=∠NCF ∠BME=∠CNF ME=NF

，
∴△BEM≌△CFN（AAS），
∴CF=BE=5．
故填：5．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件．