Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，.点从点出发，沿轴以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当点到达点时停止运动，设点运动的时间是t秒.将线段的中点绕点按顺时针方向旋转，得点，点随点的运动而运动，连接.

(1)请用含t的代数式表示出点的坐标.

(2)求为何值时，的面积最大，最大为多少?

(3)在点从向运动的过程中，能否成为直角三角形?若能，求的值:若不能，请说明理由.

(4)请直接写出整个运动过程中，点所经过的长度.

Answer 1

【答案】；；能，2或；

【解析】

（1）设出P点的坐标，再求出CP的中点坐标，根据相似的性质即可求出点D的坐标；

（2）根据点D的坐标及三角形的面积公式直接求解即可；

（3）先判断出可能为直角的角，再根据勾股定理求解；

（4）根据点D的运动路线与OB平行且相等即可解决

（1）∵点P从点出发，沿轴以每秒个单位长的速度向点匀速运动

设CP的中点为F，过点D作DE⊥OA，垂足为E，

∵

∵F绕点P顺时针旋转90°得到点D

又

（2）∵

∴当时，最大，为4

（3）能构成直角三角形

当时，

由勾股定理得，

即

解得 或（舍去）

当时，此时点D在AB上

即

∴

综上所述，或时，能成为直角三角形

（4）当点P在原点O处时，对应的

当点D运动时，直线 的斜率 ，即无论点D如何运动，直线的斜率为固定值，即点D的运动轨迹始终在直线上，

∴点D的运动路线与OB平行

当点P运动到A时， ，此时 的坐标为

即点D的运动轨迹为线段

∵点与点B,C共线

∴轴

∵四边形为平行四边形

∴点D的运动路线与OB平行且相等

∵

∴点D运动路线的长为