Question

如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠AED=∠ECB．
（1）△DEC是等腰三角形吗？请说明理由；
（2）若AD=3，AB=7，请求出CD的长．

Answer 1

（1）解：△DEC是等腰三角形，
理由是：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=90°，
∴∠B=90°=∠A，
在△ADE和△BEC中

∴△DAE≌△EBC，
∴DE=EC，
即△DEC是等腰三角形．

（2）∵AD=3，AB=7，△DAE≌△EBC，
∴AD=BE=3，AE=BC=7-3=4，∠ADE=∠BEC，
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE=DC=5，
∵∠A=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠DEC=180°-90°=90，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC===5．
分析：（1）求出∠A=∠B，证出△DAE≌△EBC，推出DE=EC即可；
（2）根据全等三角形性质得出AD=BE=3，AE=BC=7-3=4，∠ADE=∠BEC，在Rt△AED中，由勾股定理求出DE、CE，求出∠DEC=90°，根据勾股定理求出即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定和勾股定理，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力．