【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上,并且OA、OB的长分别是方程x2-7x+12=0的两根(OA<OB),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动;同时,动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q运动的时间为t秒.
(1)求A、B两点的坐标.
(2)求当t为何值时,△APQ与△AOB相似?
【答案】(1)A(0,3),B(4,0);
(2)当t=或 t=时,△APQ与△AOB相似.
【解析】
(1)根据题意解方程即可得到A、B两点的坐标;
(2)根据题意在RT△AOB中,先求出AB,然后再把AP和AQ分别用t表示出来,根据相似三角形的性质求出t即可,应注意分两种情况讨论.
(1)解方程x2-7x+12=0,即(x-3)(x-4)=0,解得x1=3,x2=4,
∵OA<OB,
∴OA=3,OB=4.
∴A(0,3),B(4,0);
(2)在RT△AOB中,OA=3,OB=4,
∴AB=5,
∴AP=t,QB=2t,AQ=5-2t.
当△APQ∽△AOB时,
即 ,
解得t=;
当△APQ∽△ABO时,
即 ,
解得t=.
综上所述:当t=或 t=时,△APQ与△AOB相似.
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【题目】抛物线y=x2+bx+c经过点A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,﹣3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,抛物线顶点为E,EF⊥x轴于F点,M(m,0)是x轴上一动点,N是线段EF上一点,若∠MNC=90°,请指出实数m的变化范围,并说明理由.
(3)如图2,将抛物线平移,使其顶点E与原点O重合,直线y=kx+2(k>0)与抛物线相交于点P、Q(点P在左边),过点P作x轴平行线交抛物线于点H,当k发生改变时,请说明直线QH过定点,并求定点坐标.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,对角线AC平分角∠BAD,点P是△ABC内一点,连接PA、PB、PC,若PA=6,PB=8,PC=10,则菱形ABCD的面积等于_____.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的⊙O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长;
(3)若BE=8,sinB=,求DG的长,
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【题目】如图 1 是台湾某品牌手工蛋卷的外包装盒,其截面图如图 2 所示,盒子上方是一段圆弧(弧 MN ).D,E 为手提带的固定点, DE 与弧MN 所在的圆相切,DE=2.手提带自然下垂时,最低点为C,且呈抛物线形,抛物线与弧MN 交于点 F,G.若△CDE 是等腰直角三角形,且点 C,F 到盒子底部 AB 的距离分别为 1, ,则弧MN 所在的圆的半径为_____.
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【题目】在一个不透明的盒子中装有三张卡片,分别标有数字1、2、3,这些卡片中除数字外其余的均相同.
小明从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回,洗匀后再随机抽取一张卡片,用画树状图或列表的方法,求两次抽取的卡片上数字之积为3的整数倍的概率;
小亮从盒子中随机抽取一张卡片,记下数字后不放回,再从盒子中随机抽取一张卡,直接写出两次抽取的卡片上的数字之积为3的整数倍的概率.
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【题目】从甲地到乙地有两条公路,一条是全长600km的普通公路,另一条是全长480km的高速公路,某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45/ ,由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半,求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间.
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【题目】如图,已知直线AC与⊙O相交于点C,直线AO与⊙O相交于D,B两点.已知∠ACD=∠B.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若AC=6,AD=4,求⊙O的半径;
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