Question

【题目】如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD边于点F，则sin∠FCD＝（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

由四边形ABCD为正方形，得到四个内角为直角，四条边相等，可得出AD与BC都与半圆相切，利用切线长定理得到FA＝FE，CB＝CE，设正方形的边长为4a，FA＝FE＝x，由FE+FC表示出EC，由AD﹣AF表示出FD，在直角三角形FDC中，利用勾股定理列出关系式，用a表示出x，进而用a表示出FD与FC，利用锐角三角函数定义即可求出sin∠FCD的值．

解：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，

∴AD与BC都与半圆O相切，又CF与半圆相切，

∴AF＝EF，CB＝CE，

设AB＝BC＝CD＝AD＝4a，AF＝EF＝x，

∴FC＝EF+EC＝4a+x，FD＝AD﹣AF＝4a﹣x，

在Rt△DFC中，由勾股定理得：FC2＝FD2+CD2，

∴（4a+x）2＝（4a﹣x）2+（4a）2，

整理得：x＝a，

∴FC＝4a+x＝5a，FD＝4a﹣x＝3a，

∴在Rt△DFC中，sin∠FCD＝．

故选：B．