Question

如图，平面直角坐标系中，点C（-3，4），A为x轴正半轴上一点，已知四边形OABC为菱形，BC交y轴于点D
（1）求过点A、O、C的抛物线解析式；
（2）线段CB上是否存在这样的点P：当点P绕点O顺时针旋转90°后恰好落在（1）所求的抛物线上？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵OABC为菱形，
∴BC∥OA，OC=OA=BC，
∴OD⊥BC，
∵C（-3，4），
∴CD=3，OD=4，
∴OC==5，
∴A（5，0），
设抛物线的解析式为y=ax（x-5），
把C（-3，4）代入得24a=4，
解得a=，
∴y=x（x-5）=x²-x．

（2）由点A，O，C在抛物线y=x²-x上，可得抛物线必过原点，又已知四边形OABC为菱形，所以CB垂直y轴，其解析式为y=4，由此可设P为（a，4），因为点P绕点O顺时针旋转90°，可以看做△OPD绕点O顺时针旋转90°到△OP₁D₁，且这两三角形全等，所以P₁点坐标为（4，-a），又因为P₁点正好落在抛物线y=x²-x上，所以把P₁点代入，可得a=-，即P（-，4）．
分析：（1）由菱形的性质得OC=OA=BC，则OD⊥BC，由勾股定理得出OC，即可求出点A的坐标，设抛物线的解析式为y=ax（x-5），把C（-3，4）代入得a即可得出抛物线的解析式；
（2）设P（x，4）旋转90°到P′，可得出x，代入可求得y，从而得出点P的坐标即可．
点评：本题是一道二次函数的题，考查了菱形的性质、用待定系数法求二次函数的解析式以及旋转的性质，是一道难度不大的题目．