Question

12．如图是抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，下列结论：
①c-a=n；
②抛物线与x轴的另一个交点为（m，0），则-2＜m＜-1；
③当x＜0时，ax²+（b+2）x＜0；
④一元二次方程ax²+（b-$\frac{1}{2}$）x+c=0有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①将顶点坐标（1，n）代入抛物线的解析式中，列两式可得结论；
②根据抛物线的对称性得：AD=BD，列不等式结论；
③设y=ax²+（b+2）x，把它看作另一个二次函数，此二次函数过原点，通过计算发现与x轴有两个交点，且另一个交点在原点的右侧，由此作判断；
④根据△的取值作判断．

解答 解：①∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴-$\frac{b}{2a}$=1，b=-2a，
a+b+c=n，
a-2a+c=n，
∴-a+c=n，
c-a=n，
所以选项①正确；
②如图1，设抛物线与x轴的交点为A和B（A在B的右侧），
则3-1＜AD＜4-1，
2＜AD＜3，
由对称性得：AD=BD，
∴2＜BD＜3，
∵B（m，0），
∴BD=1-m，
∴2＜1-m＜3，
∴-2＜m＜-1，
所以选项②正确；
③∵由图可知：抛物线y=ax²+bx+c开口向下，
∴a＜0，
∴抛物线y=ax²+（b+2）x也开口向下，且过原点，
当y=0时，ax²+（b+2）x=0，
x（ax+b+2）=0，
x₁=0，x₂=$\frac{-b-2}{a}$=$\frac{2a-2}{a}$2-$\frac{2}{a}$＞0，如图2所示，
∴当x＜0时，y=ax²+（b+2）x＜0，
即当x＜0时，ax²+（b+2）x＜0；
所以选项③正确；
④ax²+（b-$\frac{1}{2}$）x+c=0，
△=（b-$\frac{1}{2}$）²-4ac，
∵a＜0，c＞0，
∴ac＜0，
∴-4ac＞0，
∵（b-$\frac{1}{2}$）²≥0，
∴△＞0，
∴一元二次方程ax²+（b-$\frac{1}{2}$）x+c=0有两个不相等的实数根；
所以选项④正确；
其中正确结论是：①②③④，4个，
故选D．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），明确以下几点：
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；
③常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）：
④抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．