Question

如图1，在平面直角坐标系中，已知A（-

3

，0），B（0，2）．以OA、OB为边作矩形AOBC，再以C为圆心，CA为半径作⊙C交y轴于E、F两点．
（1）直接写出点C的坐标；
（2）求线段EF的长；
（3）如图2，以AB为边向下作等边三角形ABM．
①求点M的坐标；
②若以M为圆心，R为半径的⊙M上有且只有一个点到点C的距离等于2，请直接写出R的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）C点为矩形AOBC的顶点，易知其横坐标为A点横坐标，纵坐标为B点纵坐标，所以坐标易得．
（2）EF为弦，求弦通常连接CE，CF，由数据解直角三角形易得BE的长，而B为EF中点，所以EF长可得．
（3）①求坐标常规作法就是表示其横纵坐标，可过点M分别作x轴、y轴的垂线，而由（1）（2）数据易知三角形CAE亦为等边三角形，亦得△ABC≌△AME，由此可知EM的长，且可推得△EMN为含30°角的直角三角形，则横纵坐标线段长不难表示．
②以M为圆心，R为半径的⊙M上有且只有一个点到点C的距离等于2，则画图易得有且只有一点说明此点定在CM或MC的延长线上，即有R+2=CM或R-2=CM，所以需先求CM．求坐标上两点的距离我们通常作关于x轴、y轴的平行线，利用直角三角形中的勾股定理求得，因为前小问坐标都已知，故CM易得，则R值可推．

解答：解：（1）C（-

3

，2）．
分析如下：
C点横坐标等于A点横坐标，纵坐标等于B点纵坐标，所以易得C（-

3

，2）．

（2）
如图2，连结CE、CF，则CE=CF=CA=2，
在Rt△BCE中，
∵CB=OA=

3

，
∴BE=

CE2-CB2

=

22-( 3

)2=1．
∵CB⊥EF，
∴EF=2BE=2．

（3）
①如图3，连结AE、CE、ME，过M作MN⊥y轴于点N，
在Rt△AOE中，
∵AO=

3

，OE=1，
∴AE=2=CE=AC，
∴△ACE为等边三角形．
∵△ABM为等边三角形，
∴AB=AM，
∴∠CAE=∠BAM=60°，
∴∠CAE-∠BAE=∠BAM-∠BAE，
∴∠CAB=∠EAM
∴△ABC≌△AME，
∴∠AEM=∠ACB=90°，ME=BC=

3

，
∴∠MEN=∠AEM-∠AEO=90°-60°=30°．
在Rt△MEN中，
∵EN=MEcos∠MEN=

3

×

3

2

=

3

2

∴ON=EN-EO=

3

2

-1=

1

2

∵MN=MEsin∠MEN=

3

×

1

2

=

3

2

∴点M的坐标为（

3

2

，-

1

2

）．

②R=

13

-2或R=

13

+2．
分析如下：

如图4，连接CM，过点M作MG⊥CA，交CA的延长线于G，故N点在GM上，
在Rt△COM中，
∵CG=CA+AG=2+

1

2

=

5

2

，GM=GN+MB=

3

+

3

2

=

3 3

2

，
∴CM=

13

．
⊙M上有且只有一个点到点C的距离等于2，则此点定在直线CM上，且有R+2=CM或R-2=CM，
∴R=

13

-2或R=

13

+2．

点评：本题考查了圆中弦的性质，利用三角函数解直角三角形及圆心距等问题，随解答稍有难度，但思路常规，耐心求解即得结果，总体来说是一道非常有质量的题目．