Question

我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C₂。
（1）求C₁和C₂的解析式；
（2）如图②，过点B作直线BE：y=x﹣1交C₁于点E（﹣2，﹣），连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；
（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C₁或C₂上是否存在一点Q，使得△EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由于抛物线C1、C2都过点A（﹣3，0）、B（3，0）， 可设它们的解析式为：y=a（x﹣3）（x+3）； 抛物线C1还经过D（0，﹣3）， 则有：﹣3=a（0﹣3）（0+3），a= 即：抛物线C1：y=x2﹣3（﹣3≤x≤3）； 抛物线C2还经过A（0，1），则有：1=a（0﹣3）（0+3），a=﹣ 即：抛物线C2：y=﹣x2+1（﹣3≤x≤3）； （2）由于直线BE：y=x﹣1必过（0，﹣1）， 所以∠CBO=∠EBO（tan∠CBO=tan∠EBO=）； 由E点坐标可知：tan∠AOE≠，即∠AOE≠∠CBO， 所以它们的补角∠EOB≠∠CBx； 若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，只需考虑两种情况： ①∠CBP1=∠EBO，且OB：BE=BP1：BC， 即：3：=BP1：，得：BP1=，OP1=OB﹣BP1=； ∴P1（，0）； ②∠P2BC=∠EBO，且BC：BP2=OB：BE， 即：：BP2=3：，得：BP2=，OP2=BP2﹣OB=； ∴P2（﹣，0）， 综上，符合条件的P点有：P1（，0）、P2（﹣，0）； （3）如图，作直线l∥直线BE，设直线l：y=x+b； ①当直线l与抛物线C1只有一个交点时：x+b=x2﹣3， 即：x2﹣x﹣（3b+9）=0 ∴该交点Q2（，﹣）； Q2到直线 BE：x﹣y﹣1=0 的距离：==； ②当直线l与抛物线C2只有一个交点时：x+b=﹣x2+1， 即：x2+3x+9b﹣9=0 ∴该交点Q1（﹣，）； Q1到直线 BE：x﹣y﹣1=0 的距离：=； ∴符合条件的Q点为Q1（﹣，）； △EBQ的最大面积：Smax=×BE×=。