Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD上的点，且EF∥BC，

AE

BE

=

BC

AD

=

5

3

，若

AB

=

a

，

DC

=

b

，则向量

EF

可用

a

、

b

表示为

 

．

Answer 1

考点：*平面向量

专题：

分析：过点A作AH∥CD交EF于G，交BC于H，可得AD=GF=CH，然后用BH表示出CH，再求出

AE

AB

，根据相似三角形对应边成比例可得

AE

AB

=

EG

BH

，再用BH表示出EG，然后表示出EF，再根据向量的三角形法则求出BH，即可得解．

解答：解：如图，过点A作AH∥CD交EF于G，交BC于H，
∵AD∥BC，EF∥BC，
∴AD=GF=CH，
∵

BC

AD

=

5

3

，
∴BC=

5

3

AD，
∴BH=BC-CH=

5

3

AD-AD=

2

3

AD=

2

3

CH，
∴CH=

3

2

BH，
∵

AE

BE

=

5

3

，
∴

AE

AB

=

5

8

，
∵EF∥BC，
∴△AEG∽△ABH，
∴

AE

AB

=

EG

BH

=

5

8

，
∴EG=

5

8

BH，
∴EF=EG+GF=

5

8

BH+

3

2

BH=

17

8

BH，
∵

AB

=

a

，

DC

=

b

，
∴

BH

=

DC

-

AB

=

b

-

a

，
∴

EF

=

17

8

（

b

-

a

）．
故答案为：

17

8

（

b

-

a

）．

点评：本题考查了平面向量，梯形，梯形的问题，难点在于作辅助线构造出平行四边形和三角形，本题关键在于作梯形腰的平行线并用BH表示出EF，平面向量的问题，熟记平行四边形法则和三角形法则是解题的关键．