Question

1．等腰△ABC中，CA=CB，点D为边AB上一点，沿CD折叠△CAD得到△CFD，边CF交边AB于点E，CD=CE，连接BF．

（1）求证：FD=FB．
（2）连接AF交CD的延长线于点M，连接ME交线段DF于点N，若EF=4EC，AB=22，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ACE≌△BCD，推得AE=BD，DF=EB，然后判断出△DCF≌△ECB，推得∠FDE=∠BCE，最后根据相似三角形判定的方法，判断出△DEF∽△CEB，推得$\frac{DE}{EF}$=$\frac{CE}{EB}$，再根据∠DEC=∠FEB，推得△DEC∽△FEB，再判断出∠FDB=∠FBD，即可推得FD=FB．
（2）首先根据相似三角形判定的方法，判断出△DEF∽△CEB，推得$\frac{ED}{CE}=\frac{EF}{EB}$，再判断出△CED∽△BEF，推得∠DCE=∠EBF，进而判断出△EBF、△BCF为等腰三角形，所以∠BCF=∠EBF，∠DCE=∠BCF，CE为△BCD和∠BCD的平分线；最后由角平分线定理，可得$\frac{CB}{CD}=\frac{EB}{ED}$，$\frac{CE+EF}{CE}=\frac{EB}{ED}$，求出ED、EC的值各是多少；再判断出△MNG∽△END，推得$\frac{MG}{ED}$=$\frac{MN}{EN}$，$\frac{MN}{EN}$=$\frac{5}{2}$，MN=$\frac{5}{7}$ME，在△MCE中，由余弦定理，可得ME²=MC²+EC²-2MC×EC×cos∠DCE，ME²=10EC²-3.6EC²=6.4EC²，据此求出MN的大小即可．

解答 （1）证明：如图1，，
∵CA=CB，
∴∠A=∠ABC，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
在△ACE与△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠ABC}\\{∠AEC=∠BDC}\\{AC=CB}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△BCD（AAS）
∴AE=BD，
∴AD=EB，
∵AD=DF，
∴DF=EB，
在△DCF与△ECB中
$\left\{\begin{array}{l}{DF=EB}\\{CF=CB}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△DCF≌△ECB（SSS），
∠DCE=∠ECB，∠DFE=∠EBC，
∴∠FDE=∠BCE，
∴△DEF∽△CEB，
∴$\frac{DE}{EF}$=$\frac{CE}{EB}$，
∵∠DEC=∠FEB，
∴△DEC∽△FEB，
∴∠DCE=∠EBF，
∴∠FDB=∠FBD，
∴FD=FB．

（2）解：∵沿CD折叠△CAD得到△CFD，
∴CA=CF，∠CAD=∠CFD，
∵∠CAD=∠CBE，
∴∠CFD=∠CBE，
∵∠DEF=∠CEB，
∴△DEF∽△CEB，
∴$\frac{ED}{CE}=\frac{EF}{EB}$，
又∵∠CED=∠BEF，
∴△CED∽△BEF，
∴∠DCE=∠EBF，
∵CD=CE，
∴BE=BF，△EBF为等腰三角形，
∵CF=CB，
∴△BCF为等腰三角形，
则∠BCF=∠EBF，
∴∠DCE=∠BCF，CE为△BCD和∠BCD的平分线，
由角平分线定理，可得
$\frac{CB}{CD}=\frac{EB}{ED}$，$\frac{CE+EF}{CE}=\frac{EB}{ED}$，
∵EF=4EC，
∴$\frac{EB}{ED}$=5，
∵AB=AD+ED+EB=22，
∴5ED+ED+5ED=22，
解得ED=2，
∵$\frac{ED}{CE}=\frac{EF}{EB}$，
∴4CE²=5ED²，EC=$\sqrt{5}$，
由余弦定理，可得
ED²=CD²+CE²-2CD×CEcos∠DCE，cos∠DCE=$\frac{3}{5}$．
如图2，过点M作AE的平行线分别交FD、EF于点G、H，，
∵M为AF边的中点，
∴点G、H是FD、EF的中点，
∵EF=4EC，
∴EH=2EC，
∴MD=2CD，MH=3ED，
∵GH=$\frac{1}{2}$ED，
∴MG=$\frac{5}{2}$ED，
∵△MNG∽△END，
∴$\frac{MG}{ED}$=$\frac{MN}{EN}$，$\frac{MN}{EN}$=$\frac{5}{2}$，MN=$\frac{5}{7}$ME，
在△MCE中，由余弦定理，可得
ME²=MC²+EC²-2MC×EC×cos∠DCE，
ME²=10EC²-3.6EC²=6.4EC²，
∴ME=4$\sqrt{2}$，MN=$\frac{20\sqrt{2}}{7}$．

点评 （1）此题主要考查了翻折变换（折叠问题），要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
（2）此题还考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．