Question

9．如图．在△ABC中．CD是AB边的中线．E是CD中点，AE=EF．连结BF，CF．
（1）求证：DB=CF；
（2）若AC=BC，求证：BDCF为矩形；
（3）在（2）的情况下，若∠ABC=60°，AB=2，求BDCF的面积．

Answer 1

分析 （1）由SAS证明△AED≌△FEC，得出对应边相等AD=CF．再由DB=AD，即可得出结论．
（2）由全等三角形的性质得出∠ADE=∠FCE，证出DB∥CF，得出四边形BDCF是平行四边形，再由等腰三角形的三线合一性质得出CD⊥AB．即可得出结论；
（3）证明△ABC是等边三角形，DB=$\frac{1}{2}$AB=1，得出BC=2DB=2，由勾股定理求出CD，即可得出四边形的面积．

解答 （1）证明：∵CD是AB边的中线，E是CD中点，
∴AD=DB，DE=CE，
在△AED和△FEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=EF}&{\;}\\{∠AED=∠FEC}&{\;}\\{DE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△FEC（SAS）． 
∴AD=CF．
∵DB=AD，
∴DB=CF．
（2）解：由（1）得：△AED≌△FEC，
∴∠ADE=∠FCE，
∴DB∥CF，
∵DB=CF，
∴四边形BDCF是平行四边形，
∵AC=BC，D是AB的中点，
∴CD⊥AB．
∴∠CDB=90°，
∴四边形BDCF是矩形．
（3）解：∵∠ABC=60°，AB=2，AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，DB=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴BC=2DB=2，
∴CD=$\sqrt{B{C}^{2}-D{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴四边形BDCF的面积=DB•CD=1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键．