Question

如图，直线y=

3

4

x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=

3

4

x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（　　）

• A．

  1

  7

• B．

  1

  6

• C．

  1

  5

• D．

  1

  8

Answer 1

分析：过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，设N的坐标是（x，

3

4

x+3），得出DN=

3

4

x+3，OD=-x，求出OA=4，OB=3，由勾股定理求出AB=5，由三角形的面积公式得出AO×OB=AB×OC，代入求出OC，根据sin45°=

OC

ON

求出ON，在Rt△NDO中，由勾股定理得出（

3

4

x+3）²+（-x）²=(

12 2

5

)2，求出N的坐标，得出ND、OD，代入tan∠AON=

ND

OD

求出即可．

解答：解：
过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，
∵N在直线y=

3

4

x+3上，
∴设N的坐标是（x，

3

4

x+3），
则DN=

3

4

x+3，OD=-x，
y=

3

4

x+3，
当x=0时，y=3，
当y=0时，x=-4，
∴A（-4，0），B（0，3），
即OA=4，OB=3，
在△AOB中，由勾股定理得：AB=5，
∵在△AOB中，由三角形的面积公式得：AO×OB=AB×OC，
∴3×4=5OC，
OC=

12

5

，
∵在Rt△NOM中，OM=ON，∠MON=90°，
∴∠MNO=45°，
∴sin45°=

OC

ON

=

12 5

ON

，
∴ON=

12 2

5

，
在Rt△NDO中，由勾股定理得：ND²+DO²=ON²，
即（

3

4

x+3）²+（-x）²=(

12 2

5

)2，
解得：x₁=-

84

25

，x₂=

12

25

，
∵N在第二象限，
∴x只能是-

84

25

，

3

4

x+3=

12

25

，
即ND=

12

25

，OD=

84

25

，
tan∠AON=

ND

OD

=

1

7

．
故选A．

点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点的运用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，题目比较典型，综合性比较强．