Question

如图所示，正方形ABCD，边长为1，E、F分别是DC、BC上的点，若△AEF是等边三角形，则AF的值为（　　）

• A．2-

  3

• B．2+

  3

• C．

  6

  -

  2

• D．

  6

  +

  2

Answer 1

分析：证明△ADE≌△ABF，得出DE=BF，继而得出CE=CF，设BF=x，则CE=CF=1-x，在Rt△ABF和Rt△CEF中利用勾股定理分别表示出AF²，EF²，建立方程，解出x的值后，即可得出答案．

解答：解：∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF=EF，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=CD，
在Rt△ADE和Rt△ABF中，

AD=AB AE=AF

，
∴Rt△ADE≌Rt△ABF（HL），
∴DE=BF，
∴CD-DE=BC-BF，即CE=CF，
设BF=x，则CE=CF=1-x，
在Rt△ABF中，AF²=AB²+BF²，即AF²=1+x²，
在Rt△CEF中，EF²=CE²+CF²，即EF²=（1-x）²+（1-x）²，
则1+x²=（1-x）²+（1-x）²，
解得：x₁=2+

3

（舍去），x₂=2-

3

，
∴AF²=1+（2-

3

）²=8-4

3

，
∴AF=

6

-

2

．
故选C．

点评：本题考查了正方形的性质，解答本题需要同学们掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理及等边三角形的性质，综合性较强．