Question

整数a使得关于x，y的方程组对于每一个实数b总有实数解，求整数a的值．

Answer 1

解：由第一个方程得：x=2y+3a-b，然后把x代入第二个方程得关于y的方程：2y²+（3a-b）y-（b²-2a²+3b+4）=0，
则根据题意得△≥0，即△=（3a-b）²+4×2（b²-2a²+3b+4）≥0，
∴9b²+6b（4-a）+（32-7a²）≥0，由于b取每一个实数都成立，把它理解为函数z=9b²+6b（4-a）+（32-7a²）的图象不在横轴的下方，而开口向上，所以满足△≤0，即△=36（4-a）²-4×9（32-7a²）≤0，整理得a²-a-2≤0，
∴（a-2）（a+1）≤0，
所以-1≤a≤2，
则整数a的值为-1，0，1，2．
分析：用代入法消去x，得y的方程：2y²+（3a-b）y-（b²-2a²+3b+4）=0，根据题意得△≥0，即△=（3a-b）²+4×2（b²-2a²+3b+4）≥0，整理为9b²+6b（4-a）+（32-7a²）≥0，把它看作为关于b的二次函数，并且函数值大于或等于0，再得△=36（4-a）²-4×9（32-7a²）≤0，整理得a²-a-2≤0，解得-1≤a≤2，由此求出整数a的值．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了运用函数图象和根的判别式解决不等式问题．