Question

如图，?ABCD中，P是CD上的一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，过点P作PQ∥AD，交AB于点Q．下列结论不一定成立的是（　　）

A．AP⊥BP

B．AD=PD

C．△PBC是等边三角形

D．点Q是AB的中点

Answer 1

分析：由?ABCD中，P是CD上的一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，易证得∠PAB+∠PBA=90°，即可得AP⊥BP；
由AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，过点P作PQ∥AD，易证得△ADP与△BCP以及△PAQ与△BPQ是等腰三角形，继而可得B、D正确，C错误．

解答：解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=

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（∠DAB+∠CBA）=90°，
∴∠APB=90°，
即AP⊥BP；故正确；
B、∵AB∥CD，
∴∠DPA=∠PAQ，
∵∠DAP=∠PAQ，
∴∠DAP=∠DPA，
∴AD=PD，故正确；
C、同理：PC=BC，
当不能证得△PBC是等边三角形．
故错误；
D、∵PQ∥AD，
∴∠APQ=∠DAP，
∵∠DAP=∠PAQ，
∴∠PAQ=∠APQ，
∴AQ=PQ，
同理：PQ=BQ，
∴AQ=BQ，
即Q是AB的中点，故正确．
故选C．

点评：此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及垂直的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．