Question

16．四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠ACB=45°，∠ACD=30°，O为AC中点，AC、BD交于点E，AG⊥BD于G，CF⊥BD于F，连接OG、OF，以下结论：
①FG=CF-AG；②S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$BD²；③CE=2AE；④OG=OF；其中正确的有①②④．

Answer 1

分析 根据全等三角形的性质．直角三角形斜边中线的性质一一判断即可．

解答 解：如图连接OD，OB．
∵AG⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AGB=∠BFC=90°，
∠GAB+∠ABG=90°，
∵∠FBC+∠ABG=90°，
∴∠GAB=∠FBC，
∵AB=BC，
∴△AGB≌△BFC，
∴AG=BF，BG=CF，
∴FG=BG-BF=CF-AG，故①正确，
∵O为AC中点，
∴BO⊥AC，OD=OB=OA=OC，
∴∠BOC=∠BFC=90°，∠ODB=∠OBD，∠ODC=∠OCD，∠OBD=∠OCF，
∵∠ODB=∠OCF，
∴∠CDF=∠DCF，
∵∠CFD=90°，FC=DF，
∵FC=BG，
∴BG=DF，
∴DG=BF=AG，
∴S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$•BD•（AG+CF）=$\frac{1}{2}$•BD•（DG+BG）=$\frac{1}{2}$BD²，故②正确，
由①可知AG∥CF，$\frac{CE}{AE}$=$\frac{CF}{AG}$=$\frac{CF}{BF}$=$\sqrt{3}$，故③错误，
由以上可知，△BOF≌△DOG，
∴OG=OF，故④正确，
故答案为①②④．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题．