Question

如图：在△ABC中，∠ABC=30°，BC=4

3

，AB=4，以AB长为直径作⊙O交BC于点D．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线．

Answer 1

分析：（1）△ABC是等腰三角形．如图，连接AD．欲证明△ABC是等腰三角形，只需证得AD是边BC的中垂线即可；
（2）如图，连接OD，只需证得半径OD⊥ED即可推知直线DE是⊙O的切线．

解答：（1）解：△ABC是等腰三角形．理由如下：
如图，连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
又∵∠ABC=30°，AB=4，
∴AD=

1

2

AB=2，
∴BD=

AB2-AD2

=

42-22

=2

3

．
∵BC=4

3

，
∴BD=

1

2

BC，即AD是BC的中垂线，
∴△ABC的等腰三角形；

（2）证明：如图，D作DE⊥AC，垂足为点E，连接OD．
∵AO=BO，CD=BD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD．
∵OD是半径，
∴直线DE是⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．