Question

5．如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，⊙D经过点B，与BC交于点E，与AB交与点F．已知tanA=$\frac{1}{2}$，cot∠ABC=$\frac{3}{4}$，AD=8．
求（1）⊙D的半径；
（2）CE的长．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的定义得出CD和BD，从而得出⊙D的半径；
（2）过圆心D作DH⊥BC，根据垂径定理得出BH=EH，由勾股定理得出BC，再由三角函数的定义得出BE，从而得出CE即可．

解答 解：（1）∵CD⊥AB，AD=8，tanA=$\frac{1}{2}$，
在Rt△ACD中，tanA=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，AD=8，CD=4，
在Rt△CBD，cot∠ABC=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{3}{4}$，BD=3，
∴⊙D的半径为3；
（2）过圆心D作DH⊥BC，垂足为H，
∴BH=EH，
在Rt△CBD中∠CDB=90°，BC=$\sqrt{C{D}^{2}+D{B}^{2}}$=5，cos∠ABC=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{3}{5}$，
在Rt△BDH中，∠BHD=90°，cos∠ABC=$\frac{BH}{BD}$=$\frac{3}{5}$，BD=3，BH=$\frac{9}{5}$，
∵BH=EH，
∴BE=2BH=$\frac{18}{5}$，
∴CE=BC-BE=5-$\frac{18}{5}$=$\frac{7}{5}$．

点评 本题考查了圆周角定理、解直角三角形以及垂径定理、勾股定理，掌握定理的内容以及用法是解题的关键．