Question

10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△BDE的周长是6，则AB，AC的长．

Answer 1

分析 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再判断出△BDE是等腰直角三角形，设BE=x，然后根据△BDE的周长列方程求出x的值，再分别求解即可．

解答 解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，
∴CD=DE，
∵AC=BC，
∴∠B=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
设BE=x，则CD=DE=x，BD=$\sqrt{2}$x，
∵△BDE的周长是6，
∴x+x+$\sqrt{2}$x=6，
解得x=6-3$\sqrt{2}$，
∴AC=BC=x+$\sqrt{2}$x=6-3$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$（6-3$\sqrt{2}$）=3$\sqrt{2}$，
AB=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$×3$\sqrt{2}$=6．

点评 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形周长的定义，等腰直角三角形的判定与性质，根据三角形的周长列出方程是解题的关键．