Question

20．如图，在等腰直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）判断DF与DE的大小关系，并说明理由；
（2）若BE=12，CF=5，求△DEF的面积．

Answer 1

分析 （1）连接AD，首先利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，AD=CD=BD，从而得到∠CDF=∠ADE，然后利用ASA证得DCF≌△ADE后即可证得DF=DE；
（2）由（1）知：AE=CF，AF=BC，DE=DF，即△EDF为等腰直角三角形，在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的值求出，进而可求出DE、DF的值，代入S_△EDF=$\frac{1}{2}$DE²进行求解．

解答 解：
（1）DF=DE，理由如下：
如图，连接AD，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=CD=BD，
∵DE⊥DF，
∴∠CDF+∠ADF=∠EDA+∠ADF，
即∠CDF=∠ADE，
在△DCF和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠DAE}\\{∠CDF=∠ADE}\\{CD=AD}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△DAE（ASA），
∴DF=DE；
（2）由（1）知：AE=CF=5，同理AF=BE=12．
∵∠EAF=90°，
∴EF²=AE²+AF²=5²+12²=169．
∴EF=13，
又∵由（1）知：△AED≌△CFD，
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，DE²+DF²=EF²=169，
∴DE=DF=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$×（$\frac{13\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{169}{4}$．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，构造三角形全等是解题的关键，注意勾股定理的应用．