十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数之间存在的一个有趣的关系式.被称为欧拉公式请你观察下列几种简单多面体模型.解答下列问题:(1)根据上面多面体的模型及表格中的数据:多面体顶点数(V)面数(F)棱数(E)四面体446长方体8612正八面体6812你发现顶点数之间存在的关系式是V+F-E=2,(2)一个多面体每个顶点处都有3条棱.多面体的棱数比� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

12．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

（1）根据上面多面体的模型及表格中的数据：

多面体	顶点数（V）	面数（F）	棱数（E）
四面体	4	4	6
长方体	8	6	12
正八面体	6	8	12

你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F-E=2；
（2）一个多面体每个顶点处都有3条棱，多面体的棱数比顶点数大10，则这个多面体的面数是12；
（3）某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，每个顶点处都有3条棱，共有棱36条．若该多面体外表面三角形的个数比八边形的个数的2倍多2，求该多面体外表面三角形的个数．

分析（1）从表格观察发现：顶点数+面数-棱数=2；
（2）根据一个多面体每个顶点处都有3条棱，多面体的棱数比顶点数大10，得到关于E，V的二元一次方程，解出方程，将其代入顶点数+面数-棱数=2即可求解；
（3）设八边形的个数为y个，则三角形的个数为2y+2个，由题意可得y+2y+2=14，解方程求出y的值即可．

解答解：（1）∵4+4-6=2，8+6-12=2，6+8-12=2，
∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F-E=2；
故答案为：V+F-E=2；
（2）根据题意，可得$\left\{\begin{array}{l}{E=V+10}\\{E=3V}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{V=5}\\{E=15}\end{array}\right.$，
∵V+F-E=2，
∴F=2+E-V=2+15-5=12，
故答案为：12；
（3））∵$\frac{3V}{2}$=36=E，V=24，V+F-E=2，
∴F=14，
设八边形的个数为y个，
则三角形的个数为2y+2个，
由题意得y+2y+2=14，
解得：y=4，
∴2y+2=10，
答：该多面体外表面三角形的个数为10个．

点评本题考查欧拉公式，熟记多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系是解题关键．

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