Question

1．如图，已知∠A=∠D=90°，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=DC，BE=CF．求证：
（1）AF=DE
（2）若OP⊥EF，求证：OP平分∠EOF．

Answer 1

分析 （1）由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定和性质即可证明；
（2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB=∠DEC，再根据等腰三角形的性质得出结论．

解答 证明：（1）∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=CE}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴AF=DE；

（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已证），
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF，
∵OP⊥EF，
∴OP平分∠EOF．

点评 此题考查了直角三角形全等的判定和性质及等腰三角形的性质，解题关键是由BE=CF通过等量代换得到BF=CE．