Question

阅读下列材料，然后解答后面的问题．
我们知道方程2x+3y=12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．例：由2x+3y=12，得y=

12-2x

3

=4-

2

3

x，（x、y为正整数）∴

x＞0 12-2x＞0

则有0＜x＜6．又y=4-

2

3

x为正整数，则

2

3

x为正整数．
由2与3互质，可知：x为3的倍数，从而x=3，代入y=4-

2

3

x=2．
∴2x+3y=12的正整数解为

x=3 y=2

问题：
（1）请你写出方程2x+y=5的一组正整数解：

 

；
（2）若

6

x-2

为自然数，则满足条件的x值有

 

个；
A、2      B、3       C、4        D、5
（3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？

Answer 1

分析：根据题意可知，求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解．

解答：解：
（1）由2x+y=5，得y=5-2x（x、y为正整数）．
所以

x＞0 5-2x＞0

，即0＜x＜

5

2

∴当x=1时，y=3；
当x=2时，y=1．
即方程的正整数解是

x=1 y=3

或

x=2 y=1

．（只要写出其中的一组即可）

（2）同样，若

6

x-2

为自然数，
则有：0＜x-2≤6，即2＜x≤8．
当x=3时，

6

x-2

=6；
当x=4时，

6

x-2

=3；
当x=5时，

6

x-2

=2；
当x=8时，

6

x-2

=1．
即满足条件x的值有4个，
故选C．

（3）设购买单价为3元的笔记本m本，单价为5元的钢笔n支．
则根据题意得：3m+5n=35，其中m、n均为自然数．
于是有：n=

35-3m

5

=7-

3

5

m，
解得：

m＞0 7- 3 5 m＞0

，
所以0＜m＜

35

3

．
由于n=7-

3

5

m为正整数，则

3

5

m为正整数，可知m为5的倍数．
∴当m=5时，n=4；
当m=10时，n=1．
答：有两种购买方案：即购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支；
或购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支．

点评：解题关键是要读懂题目给出的已知条件，根据条件求解．注意笔记本和钢笔是整体，所有不可能出现小数和负数，这也就说要求的是正整数．