Question

图1和图2中，优弧

AB

所在⊙O的半径为2，AB=2

3

．点P为优弧

AB

上一点（点P不与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．
（1）点O到弦AB的距离是

 

，当BP经过点O时，∠ABA′=

 

°；
（2）当BA′与⊙O相切时，如图2，求折痕的长：
（3）若线段BA′与优弧

AB

只有一个公共点B，设∠ABP=α．确定α的取值范围．

Answer 1

考点：圆的综合题,含30度角的直角三角形,勾股定理,垂径定理,切线的性质,翻折变换（折叠问题）,锐角三角函数的定义

专题：综合题,压轴题

分析：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．
（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．
（3）根据点A′的位置不同，分点A′在⊙O内和⊙O外两种情况进行讨论．点A′在⊙O内时，线段BA′与优弧

AB

都只有一个公共点B，α的范围是0°＜α＜30°；当点A′在⊙O的外部时，从BA′与⊙O相切开始，以后线段BA′与优弧

AB

都只有一个公共点B，α的范围是60°≤α＜120°．从而得到：线段BA′与优弧

AB

只有一个公共点B时，α的取值范围是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．

解答：解：（1）①过点O作OH⊥AB，垂足为H，连接OB，如图1①所示．
∵OH⊥AB，AB=2

3

，
∴AH=BH=

3

．
∵OB=2，
∴OH=1．
∴点O到AB的距离为1．
②当BP经过点O时，如图1②所示．
∵OH=1，OB=2，OH⊥AB，
∴sin∠OBH=

OH

OB

=

1

2

．
∴∠OBH=30°．
由折叠可得：∠A′BP=∠ABP=30°．
∴∠ABA′=60°．
故答案为：1、60．

（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．
∵BA′与⊙O相切，
∴OB⊥A′B．
∴∠OBA′=90°．
∵∠OBH=30°，
∴∠ABA′=120°．
∴∠A′BP=∠ABP=60°．
∴∠OBP=30°．
∴OG=

1

2

OB=1．
∴BG=

3

．
∵OG⊥BP，
∴BG=PG=

3

．
∴BP=2

3

．
∴折痕的长为2

3

．

（3）若线段BA′与优弧

AB

只有一个公共点B，
Ⅰ．当点A′在⊙O的内部时，此时α的范围是0°＜α＜30°．
Ⅱ．当点A′在⊙O的外部时，此时α的范围是60°≤α＜120°．
综上所述：线段BA′与优弧

AB

只有一个公共点B时，α的取值范围是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．

点评：本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，考查了用临界值法求α的取值范围，有一定的综合性．第（3）题中α的范围可能考虑不够全面，需要注意．