Question

6．如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，-2），B（3，-1），C（1，-1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁，并写出点A的对应点A₁的坐标；
（2）画出△ABC绕原点O旋转180°后得到的△A₂B₂C₂，在坐标系中画出△A₂B₂C₂，并写出点A的对应点A₂的坐标；
（4）直接写出△ABC的外心与△A₂B₂C₂的外心之间的距离．

Answer 1

分析 （1）画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁，找出点A₁的坐标即可；
（2）画出△ABC绕原点O旋转180°后得到的△A₂B₂C₂，找出点A₂的坐标即可；
（3）根据点A、B、C的坐标利用两点间的距离公式即可找出△ABC为直角三角形，由此即可得出：△ABC的外心为线段AB的中点F、△A₂B₂C₂的外心在线段A₂B₂的中点E，找出点E、F的坐标利用两点间的距离公式求出EF即可．

解答 解：（1）如图所示：△A₁B₁C₁，即为所求，点A的对应点A₁的坐标为：（-1，-2）；
（2）如图所示：△A₂B₂C₂，即为所求，点A的对应点A₂的坐标为：（-1，2）；
（3）∵A（1，-2），B（3，-1），C（1，-1），
∴AB=$\sqrt{（3-1）^{2}+[-1-（-2）]^{2}}$=$\sqrt{5}$，AC=-1-（-2）=1，BC=3-1=2，
∴AB²=AC²+BC²，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的外心为线段AB的中点F，△A₂B₂C₂的外心在线段A₂B₂的中点E，
∵A（1，-2），B（3，-1），
∴A₂（-1，2），B₂（-3，1），
∴F（2，-$\frac{3}{2}$），E（-2，$\frac{3}{2}$），
∴EF=$\sqrt{[2-（-2）]^{2}+（-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}）^{2}}$=5，
∴△ABC的外心与△A₂B₂C₂的外心之间的距离为：EF=5．

点评 本题考查了作图中的轴对称变换及旋转变换、三角形的外接圆与外心以及两点间的距离公式，熟练掌握对称及旋转作图的方法是解题的关键．