Question

如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交⊙O于点E，F在DA的延长线上，且AF=AD．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若cos∠ABF=，求的值．

Answer 1

（1）证明：连接BE，可得出BE必过圆心，则BE是圆的半径，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵AF=AD，AE⊥AB，
∴BF=BD，
∴∠FBA=∠ABD，
∴∠C=∠E=∠FBA，
∵∠BAE=90°，
∴∠FBA+∠ABC+∠CBE=90°，
∴∠FBE=90°，
∴BF是⊙O的切线；

（2）解：∵BF是⊙O的切线，
∴∠FBA=∠E=∠ABD，
∵cos∠ABF=，
∴设AB=4x，则BF=5x，AD=3x，BD=5x，
设AE=4y，则BE=5y，
∴（4x）²+（4y）²=（5y）²，
解得：y=x，
∴AE=x×4=x，
∴DE=x，
∵AD×DE=BD×CD，
∴3x•x=5x•CD，
解得：CD=x，
∴==．
分析：（1）利用线段垂直平分线的性质得出∠FBA=∠ABD，进而求出∠FBA+∠ABC+∠CBE=90°，即可得出答案；
（2）利用锐角三角函数关系得出BD，AD，DE的长，进而求出CD的长，进而得出答案．
点评：此题主要考查了切线的判定与性质以及相交线定理和勾股定理等知识，根据已知用一个未知数表示出AD，DE，BD，CD的长是解题关键．