Question

3．如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB边上的两点，以DF为直径的⊙O与BC相交于点E，连接EF，过F作FG⊥BC于点G，其中∠OFE=$\frac{1}{2}$∠A．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若sinB=$\frac{3}{5}$，⊙O的半径为r，求△EHG的面积（用含r的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）首先连接OE，由在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC，可得FG∥AC，又由∠OFE=$\frac{1}{2}$∠A，易得EF平分∠BFG，继而证得OE∥FG，证得OE⊥BC，则可得BC是⊙O的切线；
（2）由在△OBE中，sinB=$\frac{3}{5}$，⊙O的半径为r，可求得OB，BE的长，然后由在△BFG中，求得BG，FG的长，则可求得EG的长，易证得△EGH∽△FGE，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得答案．

解答 （1）证明：连接OE，
∵在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC，
∴∠BGF=∠C=90°，
∴FG∥AC，
∴∠OFG=∠A，
∴∠OFE=$\frac{1}{2}$∠OFG，
∴∠OFE=∠EFG，
∵OE=OF，
∴∠OFE=∠OEF，
∴∠OEF=∠EFG，
∴OE∥FG，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵在Rt△OBE中，sinB=$\frac{3}{5}$，⊙O的半径为r，
∴OB=$\frac{5}{3}$r，BE=$\frac{4}{3}$r，
∴BF=OB+OF=$\frac{8}{3}$r，
∴FG=BF•sinB=$\frac{8}{5}$r，
∴BG=$\sqrt{B{F}^{2}-F{G}^{2}}$=$\frac{32}{15}$r，
∴EG=BG-BE=$\frac{4}{5}$r，
∴S_△FGE=$\frac{1}{2}$EG•FG=$\frac{16}{25}$r²，EG：FG=1：2，
∵BC是切线，
∴∠GEH=∠EFG，
∵∠EGH=∠FGE，
∴△EGH∽△FGE，
∴$\frac{{S}_{△EGH}}{{S}_{△FGE}}$=（$\frac{EG}{FG}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴S_△EHG=$\frac{1}{4}$S_△FGE=$\frac{4}{25}$r²．

点评 此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．