Question

13．某一公路隧道的形状如图所示，半圆拱的圆心距离地面2m，半径为1.5m，一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道吗？如果要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车也能顺利通过这个隧道，且不改变圆心到地面的距离，半圆拱的半径至少为多少米？

Answer 1

分析 连接OA，作OC⊥弦AB，
（1）当一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道时，OC=3-2=1，在直角△AOC中利用勾股定理求得AC的长，进而求得AB与2.3米进行比较；
（2）高度4m，宽为2.3m的大货车正好能顺利通过这个隧道时，在直角△AOC中，利用定理求得OA即可．

解答 解：（1）当一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道时，
OC=3-2=1，
连接OA，作OC⊥弦AB，在直角△AOC中，AC=$\sqrt{O{A}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{1．{5}^{2}-{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
则AB=2OC=$\sqrt{5}$＜2.3，则一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车不能顺利通过这个隧道；

（2）高度4m，宽为2.3m的大货车正好能顺利通过这个隧道时，
OC=4-2=2（m），
AC=$\frac{2.3}{2}$=1.15（m），
则OA=$\sqrt{A{C}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{1.1{5}^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2129}}{20}$（m）．
答：半圆拱的半径至少为$\frac{\sqrt{2129}}{20}$米．

点评 本题考查了垂径定理的应用，在圆的半径、弦长以及弦心距之间的计算常用的方法是转化为垂径定理的计算．