Question

如图，直线AB与反比例函数y=

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x

在第一为象限内交于点P，点P的横坐标为6，直线AB与x轴、y轴分别交于A、B两点，且tan∠ABO=1
（1）直接写出点P的坐标；
（2）求出直线AB的解析式；
（3）C为线段AB上一点，过C作y轴的平行线交反比例函数y=

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x

的图象于D点，连接DP，求点C的坐标为多少时，△CDP是直角等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法把点P的横坐标为6，代入反比例函数解析式即可；
（2）首先过P作PE⊥x轴于E点，根据tan∠ABO=1可得∠BAO=∠ABO=∠PAE=45°，再根据P点坐标可得到AE=PE=2，进而得到A点坐标，再利用待定系数法把A、P两点的坐标代入一次函数解析式，求出k、b的值，即可得到函数解析式；
（3）要使△CDP是等腰直角三角形，只能∠DPC=90°，根据C、D点所在函数解析式了可设 C（m，m-4），D（m，

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m

），过P作PF⊥CD于F，则F（m，2），再根据等腰三角形三线合一的性质可得

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m

-2=2-（m-4），解方程即可求出m的值，进而可得到点C的坐标．

解答：解：（1）∵P点在反比例函数y=

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x

的图象上，
∴xy=12，
∵点P的横坐标为6，
∴y=2，
∴P（6，2）；

（2）过P作PE⊥x轴于E点，
∵tan∠ABO=1，
∴∠ABO=45°，
∴∠BAO=∠ABO=∠PAE=45°，
∵P（6，2），
∴PE=AE=2，
∴A（4，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b 且过A（4，0），P（6，2），

4k+b=0 6k+b=2

，
解得：

k=1 b=-4

，
∴y=x-4；

（3）要使△CDP是等腰直角三角形，只能∠DPC=90°，
设 C（m，m-4），则D（m，

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m

），
过P作PF⊥CD于F，则F（m，2），
∵PD=PC，PF⊥CD，
∴DF=CF，
∴

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m

-2=2-（m-4），
∴m²-8m+12=0
（m-2）（m-6）=0
∴m₁=2，m₂=6（不合题意，舍去）                    
∴当C（2，-2）时，△CDP为等腰直角三角形．

点评：此题主要考查了一次函数，反比例函数，以及等腰直角三角形，解决问题的关键是求出直线BP的解析式，结合解析式理清点C、D、F的坐标关系．