Question

5．如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S_扇形=$\frac{nπ{R}^{2}}{360}$，由弧长l=$\frac{nπR}{180}$，得S_扇形=$\frac{nπ{R}^{2}}{360}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{nπR}{180}$•R=$\frac{1}{2}$lR．通过观察，我们发现S_扇形=$\frac{1}{2}$lR类似于S_三角形=$\frac{1}{2}$×底×高．
类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分叫做扇环）的面积公式及其应用．
（1）设扇环的面积为S_扇环，$\widehat{AB}$的长为l₁，$\widehat{CD}$的长为l₂，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S_梯形=$\frac{1}{2}$×（上底+下底）×高，用含l₁，l₂，h的代数式表示S_扇环，并证明；
（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

分析 （1）根据扇形公式之间的关系，结合已知条件推出结果即可；
（2）求出l₁+l₂=40-2h，代入（1）的结果，化成顶点式，即可得出答案．

解答 （1）S_扇环=$\frac{1}{2}$（l₁+l₂）h，
证明：设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由l=$\frac{nπr}{180}$，得R=$\frac{180{l}_{1}}{nπ}$，r=$\frac{180{l}_{2}}{nπ}$
所以图中扇环的面积S=$\frac{1}{2}$×l₁×R-$\frac{1}{2}$×l₂×r
=$\frac{1}{2}$l₁•$\frac{180{l}_{1}}{nπ}$-$\frac{1}{2}$l₂•$\frac{180{l}_{2}}{nπ}$
=$\frac{90}{nπ}$（l₁²-l₂²）
=$\frac{90}{nπ}$（l₁+l₂）（l₁-l₂）
=$\frac{1}{2}$•$\frac{180}{nπ}$•（$\frac{nπ}{180}$R+$\frac{nπ}{180}$r）（l₁-l₂）
=$\frac{1}{2}$（l₁+l₂）（R-r）
=$\frac{1}{2}$（l₁+l₂）h，
故猜想正确．

（2）解：根据题意得：l₁+l₂=40-2h，
则S_扇环=$\frac{1}{2}$（l₁+l₂）h
=$\frac{1}{2}$（40-2h）h
=-h²+20h
=-（h-10）²+100
∵-1＜0，
∴开口向下，有最大值，
当h=10时，最大值是100，
即线段AD的长h为10m时，花园的面积最大，最大面积是100m²．

点评 本题主要考查了扇形面积公式，弧长公式，二次函数的顶点式的应用，能猜想出正确结论是解此题的关键，有一定的难度．