Question

在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（2，0），（3，

3

），（1，

3

），点D、E的坐标分别
（m，

3

m），（n，

3

3

n）（m、n为非负数），则CE+DE+DB的最小值是

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：连接AC，OC，OB，作B关于直线OC的对称点E′，连接AE′，交OC于D，交OB于E，此时CE+DE+BD的值最小，求出CE+DE+BD=AE′，求出∠E′BA=90°，BF=EF′=

3

，AB=2，根据勾股定理求出即可．

解答：解：连接OC，OB，AC，
∵A（2，0），B（3，

3

），C（1，

3

），
∴BC=OA，BC∥OA，
∴四边形OCBA是平行四边形，
∵C（1，

3

），
∴OC=

12+( 3 )2

=2，
∴OA=OC
∴四边形OCBA是菱形，
∵D（m，

3

m），E（n，

3

3

n），
∴D点在直线OC上，E点在直线OB上，
作B关于直线OC的对称点E′，连接AE′，交OC于D，交OB于E，
∴AC⊥OB，AO=OC，
即A和C关于OB对称，
∴CE=AE，
∴DE+CE=DE+AE=AD，
∵B和E′关于OC对称，
∴DE′=DB，
∴CE+DE+DB=AD+DE′=AE′，
过C作CN⊥OA于N，
∵C（1，

3

），
∴ON=1，CN=

3

，
由勾股定理得：OC=2
即AB=BC=OA=OC=2，
∴∠CON=60°，
∴∠CBA=∠COA=60°，
∵四边形COAB是菱形，
∴BC∥OA，
∴∠DCB=∠COA=60°，
∵B和E′关于OC对称，
∴∠BFC=90°，
∴∠E′BC=90°-60°=30°，
∴∠E′BA=60°+30°=90°，CF=

1

2

BC=1，
由勾股定理得：BF=

3

=E′F，
在Rt△EBA中，由勾股定理得：AE′=

22+( 3 + 3 )2

=4，
即CE+DE+DB的最小值是4．
故答案为：4．

点评：本题考查了菱形性质，勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，关键是找出符合条件的点D和E的位置．