Question

如图，AB是⊙O的直径，点G在⊙O上，

CG

=

CB

，过点C作AB的垂线，垂足为D，连接BC、AC、BG，BG与AC交于点E．
（1）求证：BG=2CD；
（2）若⊙O直径为5

5

，BC=5，求AE的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理

专题：

分析：（1）延长CD交⊙O于点F，连接OC，OF，OG，则由圆周角定理易得CF=2CD，若证明BG=2CD．则可转化为证明BG=CF即可；
（2）利用圆周角定理和勾股定理可求出AC的长，再证明△BCE∽△ACB，利用相似三角形的性质即可求出AE的长．

解答：解：（1）延长CD交⊙O于点F，
∵CD⊥AB，
∴

BF

=

BC

，CF=2CD，
连接OC，OF，OG，
∵

CG

=

BF

=

BC

，
∴∠GOC=∠COB=∠FOB，
∴∠GOB=∠COF，
∴BG=CF，
∵CF=2CD，
∴BG=2CD；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=5

5

，BC=5，
∴AC=

AB2-BC2

=10，
∵

CG

=

BC

，
∴∠CBG=∠BAC，
∵∠BCE=∠ACB，
∴△BCE∽△ACB，
∴

CE

BC

=

BC

AC

，
∴

CE

5

=

5

10

，
∴CE=2.5，
∴AE=10-2.5=7.5．

点评：本题考查了圆周角定理、圆心角定理、勾股定理以及相似三角形的判定和性质，题目的难度不大，用到的知识点很多，对学生综合运用知识的能力要求很高．