Question

（2013•江都市二模）小明在玩一副三角板时发现：含45°角的直角三角板的斜边可与含30°角的直角三角板的较长直角边完全重合（如图①）．即△C′DA′的顶点A′、C′分别与△BAC的顶点A、C重合．其中AB=

2

，现在，他让△C′DA′固定不动，
将△BAC通过变换使斜边BC经过△C?DA?的直角顶点D．
（1）求A′D的长度．
（2）如图②，将△BAC绕点C按顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜180°），使BC边经过点D，则α=

15

°．
（3）如图③，将△BAC绕点A按逆时针方向旋转，使BC边经过点D．求点C走过的路线长．
（4）如图④，将△BAC沿射线A′C′方向平移m个单位长度，使BC边经过点D，求m的值．

Answer 1

分析：（1）求出AC，解直角三角形求出A′D即可；
（2）根据图形和旋转性质求出即可；
（2）求出旋转角，半径，根据弧长公式求出即可；
（4）根据直角三角形性质求出A′H，根据相似求出CH，即可求出m值，

解答：解：（1）如图1：

∵在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=

2

，
∴AC=

AB

tan30°

=

6

，
∵在Rt△A′DC′中，∠A′C′D=45°，A′C′=

6

，
∴A′D=A′C•tan45°=

3

．

（2）如图2：

α=∠A′C′A=45°-30°=15°，
故答案为：15．

（3）如图3：

过A作AH⊥BC于H，
则∠AHC=90°，
∵∠C=30°，
∴∠HAC=60°，
∴旋转角∠CAC′=90°-60°=30°，
∵AC=A′C′=

6

，
∴点C走过的路线长是

30•π• 6

180

=

6

3

π．

（4）如图4，过D作DH⊥AC于H，

∵A′D=DC，∠A′DC′=90°，
∴DH=

1

2

A′C′=

6

2

，
∵∠DHC=∠BAC=90°，∠C=∠C，
∴△DHC∽△BAC，
∴

BA

DH

=

AC

HC

，
∴CH=

3 × 6 2

2

=

3 2

2

，
∴m的值是CC′=CH-C′H=

3 2

2

-

6

2

．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，旋转的性质，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形的应用，综合性比较强，难度偏大．