Question

如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=1．
（1）若BC=3，AD=AB，求∠A的余弦值；
（2）连接BD，若△ADB与△BCD相似，设cotA=x，AB=y，求y关于x的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）作DE⊥AB，在Rt△ADE中利用勾股定理求出AE的长，再根据三角函数的定义求出∠A的余弦值；
（2）易得△ADB∽△BCD，得到∠ADB=90°，根据正切求出BC=x，根据勾股定理得到DB关于x的关系式，再利用△ABD∽△BDC，列出关系式，即可得到y关于x的函数关系式．

解答：解：（1）过点D作DE⊥AB，垂足为点E，
设AE=x，则AD=x+1．（11分）
根据题意，在Rt△ADE中，AD²=AE²+DE²．
∴x²+9=（x+1）²，（1分）
解得x=4．（1分）
即AE=4，AD=5，
∴cos∠A=

AE

AD

=

4

5

；（1分）

（2）∵AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD，
∵∠ABC=90°，△ADB∽△BCD，
∴△ADB是直角三角形，且∠ADB=90°．（1分）
∴∠DBC=∠A，
在△BCD中，由CD=1，cot∠DBC=cotA=x得，BC=x，（1分）
从而DB=

x2+1

，
由△ABD∽△BDC得，

AB

BD

=

BD

DC

，
即

y

BD

=

BD

1

．
∴y=x²+1．

点评：此题考查了相似三角形的性质和判定及解直角三角形的知识，找到图形中的直角三角形是解题的关键．