Question

已知：如图，在⊙O中M，N分别为弦AB，CD的中点，AB=CD，AB不平行于CD．
求证：∠AMN=∠CNM．

Answer 1

分析：连接OM，ON，OA，OC，由M、N分别为中点，利用垂径定理的逆定理得到OM垂直于AB，ON垂直于CD，由AM=CN，OA=OC，利用HL得出两直角三角形全等，可得出OM=ON，利用等边对等角得到一对角相等，再利用等式的性质即可得证．

解答：证明：连接OM，ON，AO，OC，如图所示，
∵M、N分别为AB、CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
又AB=CD，∴AM=CN，
在Rt△AOM和Rt△CON中，
∵

OA=OC AM=CN

，
∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），
∴OM=ON，
∴∠OMN=∠ONM，
∴∠AMO+∠OMN=∠CNO+∠ONM，即∠AMN=∠CNM．

点评：此题考查了垂径定理，直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．