Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，截取AE=BF=DG=x，已知AB=6，CD=3，AD=4，求：
（1）四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和x的取值范围；
（2）面积S是否存在着最小值？若存在，求其最小值；若不存在，请说明理由；
（3）当x为何值时，S的数值等于x的4倍．

Answer 1

解：（1）S_{四边形CGEF}=S_梯形ABCD-S_△EGD-S_△EFA-S_△BCF
=×（3+6）×4-
=x²-7x+18
∵x＞0，且3-x＞0，4-x＞0，6-x＞0，
∴0＜x＜3
则所求的函数表达式是S=x²-7x+18（0＜x＜3）

（2）S=x²-7x+18=，
由于x=不在x的取值范围内，而x也取不到0，
则面积S的最小值不存在．

（3）由题意，令S=4x，代入（1）题中求得的S关于x的表达式，
得x²-7x+18=4x，解方程，得x₁=2，x₂=9
∵0＜x＜3，∴x₂=9不合题意．
则当x=2时，S的数值等于x的4倍．
分析：（1）首先可寻找四边形CGEF与题中图形之间的关系，读图可得，S_{四边形CGEF}=S_梯形ABCD-S_△EGD-S_△EFA-S_△BCF，据此即可求出四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式，再由AB、CD、AD的值求取x的取值范围；
（2）把（1）中所得的二次函数化为顶点式的形式，再根据实际情况求解；
（3）由题意，可得x²-7x+18=4x，解方程即可．
点评：此题考查二次函数的具体应用，以及最值的求法，难度中等．