Question

已知抛物线y=。

（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x-1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D；
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形。

Answer 1

解：（1），
∵不管m为何实数，总有（m-2）²≥0，
∴＞0，
∴无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x=3，
∴m=3，
抛物线的解析式为，顶点C坐标为（3，-2），
解方程组，解得或，所以A的坐标为（1，0）、B的坐标为（7，6），∵x=3时y=x-1=3-1=2，
∴D的坐标为（3，2），
设抛物线的对称轴与x轴的交点为E，则E的坐标为（3，0），所以AE=BE=3，DE=CE=2，
①假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形，则AP、CD互相垂直平分且相等，于是P与点B重合，但AP=6，CD=4，AP≠CD，故抛物线上不存在一点P使得四边形ACPD是正方形；
②（Ⅰ）设直线CD向右平移n个单位（n＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
则直线CD的解析式为x=3+n，直线CD与直线y=x-1交于点M（3+n，2+n），
又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，-2），
∴D通过向下平移4个单位得到C，
∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形，
（ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形，
∴M向下平移4个单位得N，
∴N坐标为（3+n，n-2），
又N在抛物线上，
∴，解得（不合题意，舍去），；
（ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N，
∴N坐标为（3+n，n+6），
又N在抛物线上，∴，解得（不合题意，舍去），；
（Ⅱ）设直线CD向左平移n个单位（n＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
则直线CD的解析式为x=3-n，直线CD与直线y=x-1交于点M（3-n，2-n），
又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，-2），
∴D通过向下平移4个单位得到C，
∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形；
（ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形，
∴M向下平移4个单位得N，
∴N坐标为（3-n，-2-n），
又N在抛物线上，
∴，解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）；
（ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形，
∴M向上平移4个单位得N，
∴N坐标为（3-n，6-n），
又N在抛物线上，
∴，解得，（不合题意，舍去），
综上所述，直线CD向右平移2或（）个单位或向左平移（）个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形。