Question

如图，已知点A（0，6），B（4，-2），C（7，

5

2

），过点B作x轴的垂线，交直线AC于点E，点F与点E关于点B对称．
（1）求证：∠CFE=∠AFE；
（2）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FBC相似？若有，请求出所有符合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据待定系数法，可得AC、FC的解析式，根据自变量的值，可得函数值，根据函数值，可得相应自变量的值，根据SAS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得答案；
（2）根据两直线平行，可得内错角相等，根据等量代换，可得∠PAF=∠BFC，根据两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，可得答案．

解答：（1）证明：过点A作AM∥x轴，交FC于点M，交BE于点N．
∴AN=4．
设直线AC的解析式为y=k₁x+b₁，

则有

b1=6 7k1+b1= 5 2

，解得

k1=- 1 2 b1=6

．
∴直线AC的解析式为y=-

1

2

x+6
当x=4时，y=-

1

2

×4+6=4
∴点E的坐标为（4，4），
∵点F与E关于点B对称，则点F的坐标为（4，-8）
设直线FC的解析式为y=k₂x+b₂，
则有

4k2+b2=-8 7k2+b2= 5 2

，解得

k2= 7 2 b2=-22

．
∴直线FC的解析式为y=

7

2

x-22
∵AM与x轴平行，则点M的纵坐标为6．
当y=6时，则有

7

2

x-22=6，
解得x=8．
∴AM=8，MN=AM-MN=4，
∴AN=MN，
∵FN⊥AM，
∴∠ANF=∠MNF=90°．
在△ANF和△MNF中，

AN=MN ∠ANF=∠MNF NF=NF

∴△ANF≌△MNF  （SAS）
∴∠CFE=∠AFE．

（2）解：∵C的坐标为（7，

5

2

），F坐标为（4，-8）
∴CF=

( 5 2 +8)2+(7-4)2

=

3 53

2

又∵A的坐标为（0，6），
∴FA=

(6+8)2+42

=2

53

，
又∵BF=6，
∵EF∥AO，则有∠PAF=∠AFE，
又由（2）可知∠BFC=∠AFE，
∴∠PAF=∠BFC．
①若△AFP₁∽△FCB，
则

P1A

BF

=

AF

CF

，即

P1A

6

=

2 53

3 53 2

，解得P₁A=8．
∴OP₁=8-6=2，
∴P₁的坐标为（0，-2）．
②若△AFP₂∽△FBC，
则

P2A

CF

=

AF

BF

，即

P2A

3 53 2

=

2 53

6

，解得P₂A=

53

2

．
∴OP₂=6-

53

2

=-

41

2

，
∴P₂的坐标为（0，-

41

2

）．
所以符合条件的点P的坐标有两个，分别是P₁（0，-2），P₂（0，-

41

2

）．

点评：本题考查了一次函数的综合题，（1）待定系数法求解析式，全等三角形的性质得出答案；（2）分类讨论PA与BF对应边，PF与CF是对应边，以防漏掉．