Question

14．阅读下面材料：
小乔遇到了这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA边上的点，且AE=BC，BD=CE，BE与AD的交点为P，求∠APE的度数；

小乔发现题目中的条件分散，想通过平移变换将分散条件集中，如图2，过点B作BF∥AD且BF=AD，连接EF，AF，从而构造出△AEF与△CBE全等，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：∠APE的度数为45°．
参考小乔同学思考问题的方法，解决问题：
如图3，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，D、E分别为CB，CA上的点，且AE=$\frac{1}{2}$BC，BD=$\frac{1}{2}CE$，BE与AD交于点P，在图3中画出符合题意的图形，并求出sin∠APE的值．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的判定与性质得出AF=BD，进而得出△AEF≌△CBE（SAS），即可得出：∠APE的度数；
（2）根据题意首先得出△AEF∽△CBE，进而得出tan∠FBE=$\frac{EF}{BE}$=$\frac{1}{2}$，即可求出sin∠APE的值．

解答 解：（1）如图2，过点B作BF∥AD且BF=AD，连接EF，AF，
∵BF∥AD且BF=AD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴AF=BD，
在△AEF和△CBE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=BC}\\{∠FAE=∠C}\\{AF=EC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CBE（SAS），
∴EF=BE，∠AEF+∠CEB=90°，
∴∠EBF=45°，
∵AD∥BF，
∴∠APE=45°；
故答案为：45°；

（2）如图3，过点B作FB∥AD且FB=AD，连接EF和AF，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∠APE=∠FBE，AF=DB，
∵AB是⊙O直径，∴∠C=90°，
∴∠FAE=∠BCE=90°，
∵CE=2BD，BC=2AE，
∴CE=2AF，∴$\frac{CE}{AF}$=$\frac{BC}{EA}$=2，
∴△AEF∽△CBE，
∴$\frac{EF}{BE}$=$\frac{1}{2}$，∠1=∠3，
又∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2=90°，即∠FEB=90°，
在Rt△BEF中，∠FEB=90°，
∴tan∠FBE=$\frac{EF}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
又∵∠APE=∠FBE，
∴sin∠APE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质等知识，做出正确辅助线构造平行四边形是解题关键．