Question

如图：正方形ABCD，∠EAF=45°．求证：
（1）BE+DF=EF．
（2）EF=

2

MN．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：（1）将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，根据旋转的性质可得AH=AF，BH=DF，∠DAF=∠BAH，然后求出∠EAH=∠EAF=45°，再利用“边角边”证明△AEF和△AEH全等，根据全等三角形对应边相等可得EH=EF，然后等量代换即可得证；
（2）连接AC，求出∠EAC=∠NAD，再根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠ACE=∠ADN=45°，然后求出△ADN和△ACE相似，利用相似三角形对应边成比例可得

AN

AE

=

AD

AC

=

2

2

，同理可得△ABM和△ACF相似，然后求出

AM

AF

=

AB

AC

=

2

2

，从而得到

AN

AE

=

AM

AF

，再求出△AMN和△AFE相似，利用相似三角形对应边成比例可得

MN

EF

=

AN

AE

=

2

2

，整理即可得证．

解答：证明：（1）如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，
由旋转的性质得，AH=AF，BH=DF，∠DAF=∠BAH，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAH=∠EAF=45°，
在△AEF和△AEH中，

AH=AF ∠EAH=∠EAF AE=AE

，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EH=EF，
∵BE+BH=EH，
∴BE+DF=EF；

（2）连接AC，∵∠EAF=45°，
∴∠EAC+∠CAF=∠DAF+∠NAD，
∴∠EAC=∠NAD，
又∵∠ACE=∠ADN=45°，
∴△ADN∽△ACE，
∴

AN

AE

=

AD

AC

=

2

2

，
同理可得△ABM∽△ACF，
∴

AM

AF

=

AB

AC

=

2

2

，
∴

AN

AE

=

AM

AF

，
又∵∠MAN=∠FAE，
∴△AMN∽△AFE，
∴

MN

EF

=

AN

AE

=

2

2

，
∴EF=

2

MN．

点评：本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，（1）利用旋转变换作出与EF长度相等EH是解题的关键，（2）难点在于求出相似三角形．