Question

如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，AE=3，AC=9．求tan∠DBC的值．

Answer 1

考点：角平分线的性质,勾股定理,锐角三角函数的定义

专题：计算题

分析：先根据角平分线的性质得DE=DC，再证明Rt△BDE≌Rt△BDC得到BC=BE，设CD=x，则DE=x，DA=AC-CD=9-x，在Rt△ADE中，根据勾股定理得到3²+x²=（9-x）²，解得x=4，在Rt△ABC中得到9²+BC²=（BC+3）²，解得BC=12，然后在Rt△BCD中，利用正切的定义求解．

解答：解：∵BD平分∠ABC，
而DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE=DC，
在Rt△BDE和Rt△BDC中，

DE=DC BD=BD

，
∴Rt△BDE≌Rt△BDC，
∴BC=BE，
设CD=x，则DE=x，DA=AC-CD=9-x，
在Rt△ADE中，∵AE²+DE²=AD²，
∴3²+x²=（9-x）²，解得x=4，
在Rt△ABC中，∵AC²+BC²=AB²，
∴9²+BC²=（BC+3）²，
∴BC=12，
在Rt△BCD中，tan∠DBC=

CD

BC

=

3

12

=

1

4

．

点评：本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了勾股定理和锐角三角函数的定义．